Прымяненне формулы квадрата сумы і квадрата рознасці

Прымяненне формулы квадрата сумы і квадрата рознасці

(▲ + ■)² = ▲² + 2▲■ + ■²

(▲ - ■)² = ▲² - 2▲■ + ■²

Пераўтварэнне выразу ў мнагачлен стандартнага выгляду

1) (4в + 2)² = (4в)² + 2 · 4в · 2 + 2² = 16в² + 16в + 4

2) (3в – 2с)² = (3в)² - 2 · 3в · 2с + (2с)²  = 9в² - 12вс + 4с²

3)

4) (9а²с – 4а³с⁴)² = (9а²с)² – 2 · 9а²с · 4а³с⁴ + (4а³с⁴)² =

= 81а⁴с² – 72а⁵с⁵ + 16а⁶с⁸

5) (а^т – в^п)² = (а^т)² - 2 · а^т · в^п + (в^п)² = а^2т - 2а^т в^п + в^2п

6) (2а^т+6 + 4в^п+2)² = (2а^т+6)² + 2 · 2а^т+6  · 4в^п+2+ (4в^п+2)² =

= 4а^{2(т+6 )}+ 16а^т+6 в^п+2+ 16в^2(п+2) = 4а^2т+12)+ 16а^т+6 в^п+2+ 16в^2п+4

7) (2а^т+1в² + 3в^п-3а⁵)² = (2а^т+1в²)² + 2 · 2а^т+1в² · 3в^п-3а⁵ + (3в^п-3а⁵)² =

= 4а^2(т+1)в⁴ + 12а^т+1+5в^2+п-3 + 9в^2(п-3)а¹⁰ = 4а^2т+2в⁴ + 12а^т+6в^п-1+ 9в^2п-6а¹⁰

8)    (а – в – с)² = ((а – в) – с)² = (а – в)² – 2(а – в)с + с² =

= а² – 2ав + в² – 2ас + 2вс + с² = а² + в² + с²  – 2ас + 2вс – 2ас

9)                   (а + в)⁴ = (а + в)²(а + в)² = (а² + 2ав + в²) (а² + 2ав + в²)=

= (а² + 2ав + в²)² = ((а² + 2ав) + в²)² = (а² + 2ав)² + 2(а² + 2ав)в² + (в²)² =

= а⁴ + 4а³в + 4а²в² + 2а² в² + 4ав³ + в⁴ = а⁴ + в⁴ + 4а³в + 6²в²  + 4ав³

10)               2(т – 3п)² + (т + 6п)² = 2(т² – 6тп + 9п²) + т² + 12тп + 36п² =

=  2т² – 12тп + 18п² + т² + 12тп + 36п² = 3т² + 54п²

11)              3(а² + 1)² + 2(а² – 1) (а² + 1) – 5(а² – 1)² =

 = 3(а⁴ + 2а² + 1) + 2(а⁴ + а²– а² + 1) – 5(а⁴ – 2а² + 1) =

= 3а⁴ + 6а² + 3 + 2а⁴ + 2а² – 2а² + 2 – 5а⁴ + 10а² – 5 =

= 5а⁴ + 16а² + 0 = 5а⁴ + 16а²

Доказ тоеснасцей

1)                Даказаць тоеснасць (а - в)² - (а + в)² = -4ав.

Доказ:

Пераўтворым левую частку роўнасці:

(а - в)² - (а + в)² = а² – 2ав + в² – (а² + 2ав + в²) =

= а² – 2ав + в² – а² – 2ав – в²) = -4ав.

Атрымалі, што левая частка роўнасці роўна правай частцы роўнасці, значыць роўнасць з’яўляецца тоеснасцю.

2)                 Даказаць тоеснасць а² + в² = (а + в)² -2ав.

Доказ:

Пераўтворым правую частку роўнасці:

(а + в)² -2ав = а² + 2ав + в² – 2ав = а² + в².

Атрымалі, што правая частка роўнасці роўна левай   частцы роўнасці, значыць роўнасць з’яўляецца тоеснасцю.

3)                Даказаць тоеснасць (а + в + с)² = а² + в² + с² + 2ас + 2вс + 2ав.

Доказ:

Пераўтворым левую частку роўнасці:

(а + в + с)² = ((а + в) + с)² = (а + в)² + 2 · (а + в) · с + с² =

=  а² + 2ав + в² + 2ас + 2вс + с² = а² + в² + с² + 2ас + 2вс + 2ав.

Атрымалі, што левая частка роўнасці роўна правай частцы роўнасці, значыць роўнасць з’яўляецца тоеснасцю.

4)     Даказаць тоеснасць х(х + 4) + (2х – 3)²  = (3х + 4)² – (2х + 8)² + 57.

Доказ:

Пераўтворым левую частку роўнасці:

х(х + 4) + (2х – 3)²  = х² + 4х + 4х² – 12х + 9 = 5х² – 8х + 9.

Пераўтворым правую частку роўнасці:

 (3х + 4)² – (2х + 8)² + 57 = 9х² + 24х + 16 – (4х² + 32х + 64)  + 57 =

= 9х² + 24х + 16 – 4х² – 32х – 64 + 57  =  5х² – 8х + 9.

Атрымалі, што левая частка роўнасці роўна правай частцы роўнасці, значыць роўнасць з’яўляецца тоеснасцю.

Рашэнне ўраўненняў

 Рашыць ураўненне  (х – 6)² + 5(х – 3)² + 9 = (3х – 1)² – 3(х + 2)² – 19.

Рашэнне:

(х – 6)² + 5(х – 3)² + 9 = (3х – 1)² – 3(х + 2)² – 19;

х² – 12х + 36 + 5(х² – 6х + 9) + 9 = 9х² – 6х + 1 – 3(х² + 4х + 4) – 19;

х² – 12х + 36 + 5х² – 30х + 45 + 9 = 9х² – 6х + 1 – 3х² – 12х – 12 – 19;

6х² – 42х + 90 = 6х² – 18х – 30;

6х² – 42х – 6х² + 18х  = –90 – 30;

– 24х = –120;   х = –120 : (– 24) = 5;   х = 5

Вылічэнне значэнняў выразаў

1)    Вылічыць значэнне выразу 107²

Рашэнне:

107² = (100 + 7)² = 100² + 2 ∙ 100 ∙ 7 + 7² =  10 000 + 1400 + 49 = 11 449

2)     Вылічыць значэнне выразу 999²

Рашэнне:

999² = (1000 – 1)² = 1000² – 2 ∙ 1000 ∙ 1 + 1² =

= 1 000 000 – 2000 + 1 = 998 001

Параўнанне значэнняў выразаў

1)    Параўнаць (512 – 217)² і 512² + 217²

Рашэнне:

Знайдзем рознасць выразаў (512 – 217)² і 512² + 217² і параўнаем яе з нулём:

 (512 – 217)² – (512² + 217²) = 512² – 2 ∙ 512 ∙ 217 + 217² – 512² – 217² =

= – 2 ∙ 512 ∙ 217 < 0., значыць (512 – 217)² < 512² + 217²

 2) Параўнаць (–415 + 385)² і 415² + 385²

Рашэнне:

 Знайдзем рознасць выразаў (–415 + 385)² і 415² + 385² і параўнаем яе з нулём:

(–415 + 385)² – (415² + 385²) = (385 – 415)² – (415² + 385²) =

= 385² – 2 ∙ 385 ∙ 415 + 415² – 415² – 385² =  – 2 ∙ 385 ∙ 415 < 0., значыць (–415 + 385)² < 415² + 385²

2)    Параўнаць (–215 – 519)² і 215² + 519²

Рашэнне:

Знойдзем рознасць выразаў і параўнаем яе з нулём:

(–215 – 519)² – (215² + 519²) = (–(215 + 519))² – (215² + 519²) =

(215 + 519)² – (215² + 519²) = 215² + 2 ∙ 125 ∙ 519 + 5192 – 215² – 5192 = 

= 2 ∙ 125 ∙ 519 > 0, значыць (–215 – 519)² > 215² + 519²